如何计算可观测宇宙的大小？

希望看到具体的计算过程，谢谢了～　　最喜欢直接粗暴的上公式了，不想看那么多后面的文字的记住这两个公式就好：

　　上式中，a为尺度因子（宇宙不同时刻大小和现在的大小比值），z为红移， 为哈勃常数， 为辐射，物质，曲率，宇宙常数占总体能量的百分比，这里 辐射组分太小，具体计算是经常忽略掉，其实
　　目前也认为接近于0,。
　　可观测宇宙，字面上来说，就是我们能够看到的宇宙。可观测宇宙的半径，对今天来说，就是一束引力波从宇宙诞生之初跑到今天，刚好被我们接收到走过的距离，这个半径随时间会变化。（之前用光子从宇宙诞生之初跑到今天的距离，白神提出cmb之前的屏蔽问题。所以这里用引力波更合适）
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误解澄清：
　　对于可观测宇宙的大小，直觉上，最简单的想法是：既然宇宙中物体的速度最快为光速，而宇宙的年龄为138亿年，那么可观测宇宙，甚至整个宇宙的大小不就是138亿光年吗？这是个常见的错误。
　　首先光速最快有条件的，那就是在狭义相对论下，对局域参考系的局域速度有限制，换句话说就是说，你相对于你周围的物体速度不能快于光速。但是，如果是全空间的话，空间膨胀会使得物体之间有个额外的速度增量，这是时空的固有属性，和相对论无关。可观测宇宙边缘的星系，其目前很可能以超光速远离我们，但是，他们不在我们的周围，所以不违反相对论。同样，科学家相信，宇宙在刚诞生的时候有过暴涨过程，空间可以在极短时间（不超过秒）内从一个原子膨胀到一个星系的规模。所以空间自身的膨胀和光速没关系。
　　其次，认为可观测宇宙大小就等于光速乘以时间，是一种把宇宙当做静止的宇宙的观点，而宇宙是随时随地膨胀的！光子在传播过程中，它的局域速度始终是光速。如果光子在早些时候经过一个星系到达另一个星系，花费时间是t，那么这个距离是ct(c是光速），之后由于宇宙整体膨胀，两个星系远离到了2ct的距离。对光子经过这段总路径，是ct还是2ct呢？当然是2ct！因而，光子经过的路程的每一段距离，都是随着宇宙膨胀变化的，所以用经典的速度*时间的公式，得到的一定是错误的结果。必须考虑宇宙膨胀才能计算。
　　相对论认为物质之间的相互作用不能超过光速，所以可观测宇宙之外的宇宙和我们不会有任何物质和信息的联系。换句话说，可观测宇宙也许只是真实宇宙的一小部分，但却是和我们所能探测的宇宙的极限。宇宙学原理认为宇宙中任何一个点也该有一个以自己为中心的球形可观测宇宙，而且大小一样，地球并不是整个宇宙的中心，也不支持唯心论的观点。
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　　尺度因子：
　　我们知道，宇宙是膨胀的，那么宇宙在各个时间的大小显然一直在变。由于宇宙膨胀被认为是均匀膨胀（非匀速），所以所有的星系都伴随膨胀而相互远离（除了靠的比较近的星系）。因而，这对我们计算非常不利！
　　有必要建立一个框架来描述这种运动，我们引入尺度因子，尺度因子定义为宇宙不同时刻的大小相对今天大小的比值,随宇宙大小变化而变化。今天的尺度因子, 尺度因子和红移之间的关系为
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　　哈勃定律：
　　D是宇宙固有距离，也就是通常意义上的真实物理距离。为哈勃常数。哈勃定律表明，今天在红移0时刻，宇宙中星系互相远离的速度，和固有距离与哈勃常数有关。
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　　共动距离和固有距离:
　　固有距离就是通常意义上的距离，但是这个距离是随时间变化的！
　　有了尺度因子之后，我们能不能建立一个新坐标系，使得所有的星系相对位置固定呢？因此，我们引入了共动坐标系，定义共动坐标系不是一成不变的，而是随宇宙膨胀一起变化。这个坐标系下的星系距离是相对不变的，也就是共动距离x。
　　既然共动距离下星系距离是定值，那么这个值设成多少合适呢？当然是以今天的固有距离标定最为方便。因此，我们强制规定。
　　在今天，,也就是说，共动距离和今天的固有距离相等，星系过去的固有距离一定小于共动距离，未来的固有距离一定大于共动距离。
　　很明显，我们可得到了共动距离和固有距离的关系：
　　这样，星系在不同时刻的固有距离，取决于尺度因子的大小
　　
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基本方程：
　　宇宙的年龄和可观测宇宙大小是我们根据现代宇宙学推测出的。而现代宇宙学的核心方程起源于广义相对论的场方程

　　(https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%88%B1%E5%9B%A0%E6%96%AF%E5%9D%A6%E5%9C%BA%E6%96%B9%E7%A8%8B)。
场方程在目前被认为是刻画四维时空的基本方程，然而找它的解是非常困难的。好在我们通过观测，大体上认同我们的宇宙遵循宇宙学原理：（https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%97%E9%87%8C%E5%BE%B7%E6%9B%BC%E6%96%B9%E7%A8%8B）
宇宙大体均匀（3亿光年以上尺度）和各项同性（从各个方向观察宇宙不同地区的星系数密度和分布，大体相同）。
　　这样，四维时空遵循特定的几何形式，又被成为罗伯逊-沃尔克度规（https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E5%AD%B8%E5%8E%9F%E7%90%86）

　　根据罗伯逊-沃尔克度规，可以把场方程简化为弗里德曼方程：（https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%97%E9%87%8C%E5%BE%B7%E6%9B%BC%E6%96%B9%E7%A8%8B），这个方程是现代宇宙学动力学演化的基本方程：
　　H为哈勃参数，是一个随时间变化的量，在红移0(后面的下标0 都代表红移0)，也就是今天为哈勃常数，a是尺度因子（很多地方又叫R），da/dt是尺度因子变化率，G是万有引力常数，是宇宙平均密度，c是光速，k是宇宙曲率，是宇宙学常数。
　　弗里德曼方程的根本性在于，它建立了一个框架，在这个框架里面，时间和尺度因子的关系，被建立起来了。只需要知道哈勃参数随时间的变化，就可以知道宇宙如何演化！
　　（如果详细讨论这些方程如何推导，那么几本书也写不完的。（有兴趣的可以参见：广义相对论_弗里德曼方程的推导）所以这里只想简单的利用一些既定的物理框架来推导这两个物理量。我简单的假设各位虽然不知道这个公式怎么来的，但是会用就可以，也不影响后面的理解。）
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宇宙成分：
　　我们从弗里德曼方程出发，首先先考虑一个问题：我们从高中开始就学过万有引力，大家必然想过，既然宇宙中物质彼此吸引，那么我们宇宙为什么不减速膨胀，反而加速膨胀呢？
　　因为宇宙的演化不仅仅和物质有关，还有其他的因素。现在公认的影响宇宙变化的有四种，辐射，物质，宇宙曲率和暗能量（宇宙学常数）。其中辐射在宇宙初期演化过后很快消散，宇宙曲率几乎为0也可以不考虑。那么如果没有暗能量，宇宙的演化将完全取决于物质，物质之间有引力，导致宇宙的膨胀是减速的。如果宇宙密度很大，那么万有引力很强，宇宙很快就从膨胀开始收缩，如果宇宙密度很小，那么万有引力很弱，虽然有吸引作用，但是太小了以至于不能把物质拉回去，只能减速膨胀。然而，1998年超新星观测（科学网—2011年诺贝尔物理学奖揭晓）发现宇宙在加速膨胀，这说明宇宙中存在着未知的暗能量（通常认为是宇宙常数），使得宇宙膨胀加快。因而，弗里德曼方程中，右边各项分别代表密度（物质和辐射），曲率，暗能量的影响。
　　如果宇宙中，只有物质而没有曲率和暗能量，我们根据今天的哈勃常数（哈勃参数在红移为0的值）。可以得到一个临界密度：

　　这样，我们定义宇宙中各个成分占宇宙总物质之比，分别为：

　　那么

　　标示了宇宙中今天各组分的比例。
　　而在过去，各个组分随着宇宙演化不是一成不变的，物质密度与尺度因子立方成反比，辐射和尺度因子四次方成反比。曲率和尺度因子二次方成反比。只有暗能量被认为是不变的，这也是它为什么被称为宇宙常数。
　　这样，弗里德曼方程改写为：

　　万事具备，只欠计算了
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宇宙年龄计算：
　　如弗里德曼方程所述，哈勃参数与尺度因子有关：
　　我们有：
　　因而：，这个公式下面计算距离时候还会用到

　　因此，我们可以计算宇宙年龄：

　　积分得出宇宙的年龄为138亿年。至于为什么要用a积分也是显然的，宇宙的尺度因子在大爆炸时刻为0，在现在为1，积分上下限是确定的。这里的H和宇宙各个成分相关，随尺度因子变化。
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　　可观测宇宙大小的计算：
　　接下来计算可观测宇宙的大小，
　　我们知道，共动距离下，星系距离不会变化，所以用共动距离算光走过的路程才是正确的。所以：

　　x 为共动距离
但是光的速度定义在固有坐标系下，怎么转换到共动坐标系？
　　首先，我们先计算固有坐标系下物体的运动速度：

　　dx*a/dt 被称为局域惯性系速度，狭义相对论指出局域惯性系下光速最快。因此，
　　。而x*da/dt是宇宙膨胀导致的相对速度加和，是空间自身膨胀导致的，与物体本身运动无关，也和相对论无关，所以，遥远星系之间的退行速度可以超光速。
　　（一般的星系运动速度在几百千米每秒左右，相对于远距离星系几乎静止，因此，局域速度可以约为０．那么

当设定时间为今天的时候，H(t)变为, 我们又重新得到了哈勃定律。）

对于一束光来说，它的局域速度恒定为c，它在宇宙年龄内直线跑的距离，就是可观测宇宙的半径。
　　我们有
　　带入上述公式：

　　把dt换成da，

　　我们有：

　　~465亿光年

　　实际上由于我们在电磁波段看不到CMB之前的宇宙，因而我们能观测到的宇宙大小要稍小一点。但是引力波不受这个限制。
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进一步，我们考虑用红移z取代尺度因子a进行积分，因为红移在天文学上更常用。
　　把弗里德曼方程改写为和红移相关：

　　这样我们得到了哈勃参数和红移的关系，对于宇宙中红移为z'的天体，它离我们的距离的更为方便的计算公式为(辐射项忽略不计）：

　　这个公式和前面的计算公式完全等效。但是，采用这个公式的好处是：可以方便的计算不同红移处星系离我们的共动距离，因而更为常用。
当z'取无穷大即为可观测宇宙的半径。z取1100为CMB光子走过的最远距离~
　　（称为哈勃距离，当两个物体距离为哈勃距离时，它们之间的退行速度正好为光速。这个距离是144亿光年。离我们哈勃距离之外的星体，它们今天发出的光，我们永远也不可能接收到了，当然，它们过去发出的光仍然能被我们接受，只不过越来越红~）
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　　验算：
　　采用Plank 2015数据( Lambda-CDM model) ,的值非别为0.3089, 0.0 ,0.6911，=67.74km/(s*Mpc)，用Mathematica 计算结果:
　　由于不同年份给出的宇宙学参数一直有浮动，所以计算的可观测宇宙半径也会有少许偏差,大概在465亿年左右.
通常,我们说可观测宇宙年龄138亿年左右 Age of the universe（按回归年365.25天计算），可观测宇宙半径在460~470亿光年左右，直径在930亿光年左右。
　　远处星系红移与和我们共动距离（光年）关系：
　　尺度因子与可观测宇宙半径（共动距离）关系，可观测宇宙的共动距离半径有极限，大约在630亿光年左右：

　　宇宙年龄与可观测宇宙半径（共动距离）关系：
　　（顺便讨论一下宇宙的未来，如果未来暗能量就是宇宙常数，那么宇宙会无限膨胀下去。可观测宇宙在未来的一段时间内还会继续扩大，但是到了共动距离大约630亿光年之后，我们将无法接收到更多的其他星系的光（固有距离仍然增加）。最后，周围的星系将会越来越远，直到他们现在发出的光全都红移到极大，以至于低于探测器的接收极限而将不被我们接收到。但是，目前，对于宇宙的结局仍然是开放式的，有很多可能，在此不详细展开）
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编辑于 2017-10-18膜拜高票回答简直太专业了，不过如果看不懂的同学可以看看我这个简单的科普

可观测宇宙930亿光年是算出来的，而且是直径，我们在中心，折合成半径就是466亿，可观测宇宙的最边缘如果技术允许，能看到的是137.98亿年前大爆炸时的景象~

目前已观测的最远天体是现在距离315亿光年，看到的是它133亿年前(大爆炸4.8亿年后)的样子。

通过电磁波最远能看到现在距我们457亿光年远的物质于137亿年前即大爆炸后38万年(这时光子第一次能自由传播)发出的宇宙微波背景辐射，当时这些物质离我们只有4200万光年，本来只要4200万年就能到达我们所在的空间，但因为空间本身也在膨胀，一米膨胀成若干米，这些辐射在飞过来的同时其后面旅程的距离也在增加(而且受暗能量的推动在加速增加)，所以当它们到达我们这时，这个相对距离已经从4200万光年膨胀成137亿光年了(它们本身波长也从光被膨胀成微波了)，而当年发出它们的物质在发出它们后往相反方向远去(速度甚至可以超过光速)，所以根据计算这些物质现在距离我们就是457亿光年。

同理，如果技术允许，通过中微子能看到大爆炸后几秒钟，而通过引力波则能看到目前处于可观测宇宙的边缘466亿光年远的物质在大爆炸开始时发出的信息，这是理论极限与技术无关。

可观测宇宙边缘以外，就是那些从大爆炸开始后某个时点以光速发出了电磁波/中微子/引力波等，但已经不可能追上空间膨胀速度，以及追的上但追及时间长于其发出到现在的时间间隔(此间隔