理解不了弯曲时空？黄帝的指南车了解一下

　　|· 本文来自“我是科学家”·|
　　你可能经常看到这样的说法：引力可以让时空弯曲。不过你会发现无论这句话看着多么眼熟，还是理解无力。
　　其实这没有什么可自责的。我们可以理解一张纸是弯曲的，是因为我们站在纸外。换句话说，我们站在更高维的空间（3维）观察一个低维空间（2维）的几何性质（弯曲）是很容易的。但去理解时空的弯曲就是非常反直觉的了，因为“不识庐山真面目，只缘身在此山中”，我们身处这个时空，又如何知道时空是弯曲的呢？
　　为此，我们今天祭出一件上古神器—指南车，它可以帮助你理解“我们怎么知道时空是弯曲的”。
　　传说5000多年前，黄帝与炎帝的联军同蚩尤部落决战于涿鹿之野。蚩尤作法，用浓雾困住黄帝的军队。黄帝发明了指南车，并借此辨认方向冲出浓雾并战胜了蚩尤。据描述，指南车上有一木制小人像，一只手臂抬起指向前方。无论车身如何运动转向，小人的手臂始终指向同一方向。
　　黄帝的传说过于久远而不可考证，不过指南车确实散见于从周到宋间两千余年的史书中。其中《宋史》里很详细地描述了指南车的结构和原理。现代人根据宋史中的描述，成功地复原出了指南车。

复原出来的指南车。图片来源：Wikipedia

　　指南车的原理并不复杂。它有两个轮子，当车子转向时，两个轮子的转速会产生差异。这个转速的差别会通过差动齿轮装置驱动小人转向。经过矫正和调试，小人转向的角度恰好可以补偿车子的转向，于是无论车子如何转向，小人都指向同一个方向。
　　如果指南车不是行进在平地（平面）上，而是行进在崎岖的山地（曲面）上还能否奏效呢？
　　我们考虑一种最简单的情形。
　　指南车一个轮子固定，转动另一个轮子使车原地转一圈。在平地上的时候，那个转动的轮子走过的长度是两倍的轴距乘以圆周率，通过差速器，小人向反方向旋转360°，正好补偿了车子的转动，因此小人抬起的手臂指向原来的方向。而如果车停在一个小山包上，那么转动轮子所画出的圆周的周长就会比这个数字小。

　　所以，差速器传递给小人的转向角就会小于360°，因此小人的手臂就会偏离原来的方向：小车向左转，小人的手臂就向左偏，反之亦然。同样的，当小车停在一个小山坳里时，也是类似的情况。
　　另外有一种比较奇葩的地形，叫做双曲面（也可以叫马鞍面或者薯片形）。

　　在这种地方圆周会变大。因此指南车行走在这样的地形上，小人手臂的转动会超过需要补偿的角度：小车向右转，小人的手臂却向左偏，反之亦然。
　　在几何学中，这两种不同的情形可以用高斯曲率这个概念区分。
　　原来，不论是山包还是山坳，它们的高斯曲率都是大于零的，而双曲面的高斯曲率却是小于零的。
　　我们可以进一步证明[1]，指南车出去兜一圈回到原点，小人手臂是否偏离原来的方向，这取决于指南车巡游路线所包围的曲面中所有点上的高斯曲率的总和。
　　这里面提到的高斯曲率是一个曲面的内禀性质，也就是不会随外界环境变化而改变的性质。什么意思呢？比如一张纸，它展平的时候高斯曲率处处都等于零，那么无论你如何弯曲这张纸，只要不撕裂，它的高斯曲率始终是处处为零。同样，球面的高斯曲率是大于零的，因此球面无论如何也无法被拍扁成一个平面。
　　所以说，有了指南车这个神器，人们可以不必跳出大地便能测量大地的几何性质。顺便说一下，几何（Geometry）这个词是希腊语词根Geo-意思是大地，metry意思是就是测量。
　　空间有三个维度（上-下，左-右，前-后），时间有一个维度（过去-未来），合起来是一个3+1维的时空。我们居住在其中，无论如何也跳不到一个更高维的空间去测量时空的形状。因此，我们大多数人都很难理解，什么叫“弯曲的时空”。即便如此，我们可以利用类似指南车的原理，不必跳出这个时空也能知道时空有没有“弯曲“。
　　陀螺仪就是时空里的“指南车”。在平直的时空里，不受力矩的陀螺仪的转轴总能保持指向一个方向。可是如果一个陀螺仪出去兜了一圈回来发现它的转轴居然偏离了原来的方向，这时候你就知道陀螺仪所处的时空有内禀的曲率，也就是说时空是弯曲的。

陀螺仪。图片来源：shutterstock

　　按照广义相对论，有质量的物体就会使它周围的时空弯曲。因此，一个陀螺仪放在卫星上，绕着地球转几圈之后久能看到陀螺仪的转轴发生明显的转向。这就是所谓的“测地线进动（Geodetic Precession）”，这种效应已经被NASA 2004年发射的卫星Gravity Probe B 所证实[2]。

2004年发射的卫星Gravity Probe B。图片来源：wikipedia

　　也许在“高维生物”的眼中，我们是匍匐在“地面上的渺小蚂蚁”，永远也无法离开“地面”看一眼“大地”。但我们虽然渺小，却不卑微。因为我们拥有智慧，能造出“指南车”，它让我们不必跳出“地面”便可以知道“大地”形状。
参考文献：

• 已经有研究证明，指南车小人手臂相对于车身的转动角度等于小车路径上的测地曲率的积分，而测地曲率的积分又可以用Gauss-Bonnet定律和高斯曲率的面积分联系起来。参考：邓崇林 萧先雄 指南车在物理学中几何相位的应用- 《物理与工程》2014年 第S2期
  
• http://einstein.stanford.edu/content/final_report/GPB_Final_NASA_Report-020509-web.pdf
  

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